广义多项式混沌展开简介
一、 利用多项式混沌展开获得替代模型
在实际问题中，我们关注的物理量 \(Q\) 会受到许多经验参数 \((p_1,p_2,…,p_n)\) 的影响。这些参数往往是不准确的，并且我们不知道哪一个参数的不确定性对关注量的影响最大。为了量化不确定性参数对关注量的影响，我们需要建立起关注量与参数之间的关系式(替代模型)。建立这种关系式的方法有很多，本文主要介绍多项式混沌展开方法。
1.1多项式混沌展开
多项式混沌展开的核心思想是采用正交多项式将关注量 \(Q\) 展开成不确定性参数 \(p_1,p_2,…,p_n\) 的函数形式:
\[Q(p_1,p_2,…,p_n)=\sum_{\alpha_1+\alpha_2+⋯+\alpha_n≤m} C_{\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_n} \prod_{k=1}^n \phi_{\alpha_k}(p_k),\]其中, n是不确定性参数的个数, m是展开式的阶数, \(\phi_{α_k}\) 为带权正交的多项式, \(C_{α_1,α_2,…,α_n}\) 为展开系数, \(α_k\) 为正整数表示正交多项式的阶数。一般来说，均匀分布的参数采用勒让德多项式，高斯分布的参数采用埃尔米特多项式。通过上述展开式，我们可以知道关注量随参数的变化趋势，也即得到关注量与参数间的替代模型。
1.2展开系数的求解
利用正交多项式的定义，也即： \(\int_{Ω_k} \phi_{α_k} \phi_{β_k} ρ_k dp_k = δ_{α_k β_k}\) ( \(ρ_k\) 为权函数)，我们可以得到展开系数的表达式如下：
\[C_{α_1,α_2,…,α_n} = \int_{Ω_1}…\int_{Ω_n}Q(p_1,…,p_n )\prod_{k=1}^n ρ_k \phi_{α_k} dp_k.\]多项式混沌展开的关键就在于求解上述积分。当参数个数比较少时，我们可以直接利用数值方法求解上述多重积分。为了能用更少的点得到比较准确的积分值，我们可以采用高斯公式得到上述多重积分。当不确定性参数比较多(n>5)时,我们可以采用稀疏网格进行求解。
二、根据多项式混沌展开求Sobol指数
Sobol指数常用来描述参数的不确定性对关注量的影响。某一参数的Sobol指数越大表示该参数的不确定性对结果的影响越大。参数 \(p_i\) 全局Sobol指数的定义：
\[S_{p_i} = 1-\frac{Var(E(Q│p_{\sim i}))}{Var(Q)},\]其中， \(p_{\sim i}\) 表示不包含参数 \(p_i\) 的参数列表，例如： \(p_{\sim i}=( …,p_{i-1},p_{i+1},…)\) 。得到多项式混沌展开式以后，我们可以直接根据展开式的系数获得Sobol指数，也即是：
\[S_{p_i}=\frac{\sum_{α_i≠0} C_{α_1,α_2,…,α_n}^2 }{ \sum_{α_1+α_2+⋯+α_n≤m} C_{α_1,α_2,…,α_n}^2}\]三、 例子：Rosenbrock函数
\[Q(p_1,p_2 )=(1-p_1 )^2+100(p_2-p_1^2 )^2\]我们不妨假设不确定性参数 \(p_1 \sim U(a,b)\)，参数 \(p_2 \sim U(c,d)\) 为均匀分布。要研究这两个参数对关注量Q的影响，我们需要回答两个问题：Q随参数怎样变化？哪一个参数的不确定性对Q的影响最大？
下面我们利用多项式混沌展开得到Q随参数变化的替代模型，而后获得各个参数的Sobol指数。具体过程如下：
3.1 参数标准化
将均匀分布的参数映射到-1,1之间(勒让德多项式的正交性)。如果是正太分布的参数则需要映射到标准正太分布(埃尔米特多项式的正交性)。
\[p_1^* = 2*\frac{p_1-a}{b-a}-1, p_2^* = 2*\frac{p_1-c}{d-c}-1\]3.2 多项式混沌展开
\[Q ( p_1^* , p_2^* ) = \sum_{ α_1 + α_2 ≤ m } C_{ α_1 , α_2 } \phi_{ α_1 } ( p_1^* ) \phi_{ α_2 } ( p_2^* ),\]其中， \(\phi_{α_1}(p_1), \phi_{α_2}(p_2)\) 是勒让德多项式。利用正交性可知(见附录)展开系数为：
\[C_{ α_1,α_2 } = \int_{-1}^1 \int_{-1}^1 Q ( p_1^* , p_2^* ) \phi_{ α_1 } ( p_1^* ) \phi_{ α_2 } ( p_2^* ) dp_1^* dp_2^*\]利用高斯-勒让德积分公式(见附录)可以将上式子写为：
\[C_{ α_1, α_2 } = \sum_{ i=1 }^l \sum_{ j=1 }^l w_i w_j f( p_{ 1,i }^{ * }, p_{ 2,j }^{ * } ),\] \[f( p_{ 1,i }^{ * }, p_{ 2,j }^ { * } ) = Q( p_{ 1,i }^{ * }, p_{ 2,j }^{ * } ) \phi_{ α_1 } ( p_{ 1,i }^{ * } ) \phi_{ α_2 } ( p_{ 2,j }^{ * } )\]其中， \(p_{ 1,i }^{ * }, p_{ 2,j }^{ * }\) 为l阶勒让德多项式的零点， \(w_i,w_j\) 为相应的权重系数，可以通过查表得到。下图是 \(l=5\) (各参数取5个高斯积分点)的情形。
A 附录
A.1勒让德多项式：
\[\int_{-1}^{1} P_n (x) P_m (x) dx = \frac{2}{2n+1} δ_{mn}, P_{n+1} = \frac{2n+1}{n+1} xP_n (x) - \frac{n}{n+1} P_{n-1} (x),P_0 = 1, P_1 = x\]归一化后的勒让德多项式：
\[\phi_{α_1 } (x) = \sqrt{ \frac{2α_1+1}{2} } P_{α_1 } (x)\]A.2高斯-勒让德积分公式：
\[\int_{-1}^{1} f(x)dx = \sum_{i=0}^{n} w_i f(x_i )\]其中， \(x_i\) 为n阶勒让德多项式 \(P_n\) 的零点， \(w_i\) 为权重系数定义如下：
\[w_i = \frac{2}{ ( 1-x_i^2 ) (P\prime_n (x_i ))^2 }\]