一、基于球形滤波的多尺度分析理论
1. 球形滤波的基本概念
我们定义球形滤波器为：
\[f(r_d,s) = \frac{\epsilon(s/2-r_d)}{C_ds^d}, r_d=\sqrt{\sum_{i=1}^d(x_i-x_i')^2},\tag{1}\]其中， \(\epsilon\left(x\right)\) 为阶跃函数， \(C_d\) 归一化系数， \(s\) 表示滤波器的滤波尺度， \(d\) 表示滤波器的维度。滤波后的速度则可以表示为速度与滤波器的卷积形式。例如，用二维滤波器对速度场 \(u_i\left(x,y\right)\) 进行滤波后得到流场中所有大于 \(s\) 尺度的运动速度：
\[{\bar{u}_i}^{s^>}\left(x,y\right)=\bar{f}(r_2,s)*u_i(x,y)=\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty}{ f({x - x'},{y-y'},s) u_i(x',y') dx'dy'}. \tag{2}\]流场中小于 \(s\) 尺度的运动速度则可以表示为：
\[\bar{u}_i^{s^<}(x,y) =1-\bar{f}*u_i(x,y)=u_i(x,y)-u_i^{s^>}(x,y). \tag{3}\]2. 基于球形滤波的能量密度及其分解公式
为了表示湍流运动中某一尺度所具有的能量，我们定义不同尺度的能量密度：
\[E(x,s) = -\frac{\partial{\bar{Q}}}{∂s}, \bar{Q}=\frac{1}{2}\langle{u_i^{s^>}u_i^{s^>}}\rangle. \tag{4}\]假设 \(\lim\limits_{s\rightarrow\infty} {\bar{Q}}=0\) ，总的湍动能就能写成能量密度关于尺度的积分形式： \(k\left(x\right)=\int_{0}^{\infty}E\left(x,s\right)ds\) 。介于两个尺度之间的能量则可以表示为： \(k\left(s_1,s_2\right)=\int_{s_1}^{s_2}{E\left(x,s^\prime\right)ds^\prime}\) 。此外，利用阶跃函数 \(\epsilon\left(x\right)\) 的导数是 \(\delta\left(x\right)\) 函数的性质，我们可以将能量密度进一步分解为：
\[E(x,s)=\frac{1}{s^{d+1}} \int_0^s s'^{d+1} \frac{1}{2}\tilde{Q}(x,s')-2\hat{Q}(x,s')-\frac{1}{4}\frac{∂^2\bar{Q}(x,s')}{∂x_j∂x_j} ds', \tag{5}\]其中， \(\tilde{Q}\left(x,s\right) = \frac{1}{2}\left\langle\frac{\partial{\bar{u_i}}^{s^>}}{\partial x_j}\frac{\partial{\bar{u_i}}^{s^>}}{\partial x_j}\right\rangle\) 是滤波后亚格子湍动能 \(\bar{Q}\) 输运方程中的耗散项； \(\hat{Q}\left({x},s\right)=\frac{1}{2}\left\langle\frac{\partial{\bar{u_i}}^{s^>}}{\partial s}\frac{\partial{\bar{u_i}}^{s^>}}{\partial s}\right\rangle\) 表示尺度空间速度分布的不均性程度； \(\frac{\partial^2\bar{Q}\left({x},s^\prime\right)}{\partial x_j\partial x_j}\) 为非均匀项表示物理空间亚格子湍动能分布的不均性程度。在均匀各项同性湍流中，惯性区的能量密度可以写为： \(E\left(x,s\right)=K_0\Gamma\left(\frac{1}{3}\right)\varepsilon^{2/3}s^{-1/3}\) 。其中， \(K_0\) 为Kolmogorov常数， \(\mathrm{\Gamma}(x)\) 伽马函数, \(\varepsilon\) 为能量耗散率。